Deret Harmonik, Masalah Basel, dan Hipotesis Riemann

Pengantar

Dalam matematika ada tiga jenis deret yang umum dikenal, yaitu deret aritmatika, deret geometri, dan deret harmonik. Dua yang pertama sudah rutin dipelajari di matematika sekolah. Yang terakhir, yaitu deret harmonik, lebih jarang dikenal. Padahal pembahasan tentang deret harmonik terkait erat dengan masalah-masalah menarik dalam teori bilangan, yang akan dibahas dalam tulisan ini.

Deret Harmonik

Deret harmonik adalah hasil penjumlahan dari kebalikan bilangan-bilangan asli, yaitu

\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}

Deret tersebut divergen, karena seandainya konvergen, misalnya ke \displaystyle H, maka dengan membandingkan setiap sukunya kita ketahui bahwa

\displaystyle H= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\ldots

di mana deret di ruas kanan dapat ditulis sebagai \displaystyle \frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\right)=\frac{1}{2}+H, sehingga mengakibatkan \displaystyle H>\frac{1}{2}+H, yang ekuivalen dengan \displaystyle 0>\frac{1}{2}, suatu kontradiksi.

Masalah Basel

Jika \displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} divergen, maka pertanyaan berikutnya yang wajar dikemukakan adalah bagaimana dengan \displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots= \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}? Pertanyaan ini pertama kali dikemukakan oleh Pietro Mengoli pada tahun 1644, dan terjawab oleh Leonhard Euler pada tahun 1734.

Gambar berikut memperlihatkan bahwa suku-suku deret \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} dapat dipandang sebagai luas dari persegi-persegi yang dapat ditata seluruhnya di dalam sebuah persegi panjang berukuran \displaystyle 2 \times 1, dan oleh karenanya hasil penjumlahan luas persegi-persegi tersebut tidak akan melebihi \displaystyle 2\times 1=2. Dengan kata lain, \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<2, sehingga \displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} konvergen.

gambar

Bukti tanpa kata dari kekonvergenan deret jumlah kebalikan kuadrat bilangan-bilangan asli

Pertanyaan berikutnya tentu adalah konvergen ke mana? Pertanyaan ini disebut masalah Basel, yang dijawab oleh Euler dengan cara sebagai berikut. Perhatikan deret pangkat untuk sinus, yaitu

\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{24}-\ldots

Dengan mengganti \displaystyle x dengan \displaystyle \pi x diperoleh

\displaystyle \sin \pi x = \pi x-\frac{\pi^3 x^3}{6}+\frac{\pi^5 x^5}{24}-\ldots

Dengan membagi kedua ruas dengan \displaystyle \pi x diperoleh

\displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x}=1-\frac{\pi^2 x^2}{6}+\frac{\pi^4 x^4}{24}-\ldots

Sekarang kita akan “memfaktorkan” bentuk \displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x}. Bentuk ini bernilai \displaystyle 0 ketika \displaystyle x=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots, yaitu ketika \displaystyle 1\pm x =0 atau \displaystyle 1\pm\frac{x}{2}=0 atau \displaystyle 1\pm\frac{x}{3}=0 atau \displaystyle \ldots. Dengan demikian,

\displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x}=(1-x)(1+x)\cdot\left(1-\frac{x}{2}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\cdot\left(1-\frac{x}{3}\right)\left(1+\frac{x}{3}\right)\cdot\ldots

yang sama dengan

\displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x}=\left(1-x^2\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2}\right) \ldots

Koefisien \displaystyle x^2 dalam hasil penjabaran tersebut adalah \displaystyle -1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\ldots. Padahal, koefisien \displaystyle x^2 dalam deret pangkat dari \displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x} tadi adalah \displaystyle -\frac{\pi^2}{6}. Jadi, kita punyai kesamaan

\displaystyle -1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\ldots=-\frac{\pi^2}{6}

Dengan menata ulang diperoleh bahwa

\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\ldots=\frac{\pi^2}{6}

Rumus Wallis

Dari pengerjaan di atas dapat ditarik suatu akibat wajar yang dulunya merupakan salah satu hasil usaha para matematikawan di masa lampau untuk menemukan rumus eksak dari konstanta \displaystyle \pi. Dimulai dari persamaan

\displaystyle \frac{\sin \pi x}{\pi x}=(1-x)(1+x)\left(1-\frac{x}{2}\right)\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1-\frac{x}{3}\right)\left(1+\frac{x}{3}\right)\ldots

Euler menyubstitusikan \displaystyle x=\frac{1}{2} sehingga diperoleh

\displaystyle \frac{2}{\pi} = \left(1-\frac{1}{2}\right) \left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right) \left(1+\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right) \left(1+\frac{1}{6}\right)\ldots

Ruas kanan sama dengan

\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\cdot\ldots = \prod_{n=1}^\infty\left(\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n}\right)

Jadi,

\displaystyle\frac{\pi}{2}= \prod_{n=1}^\infty\left(\frac{2n}{2n-1}\cdot\frac{2n}{2n+1}\right)

Rumus ini pertama kali ditemukan oleh John Wallis pada tahun 1655.

Fungsi Zeta Riemann

Kita telah melihat tentang deret \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} dan \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}. Riemann mempertanyakan lebih lanjut dengan mendefinisikan suatu fungsi

\displaystyle \zeta(k)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^k}

yang dikenal sebagai fungsi zeta Riemann, yaitu hasil penjumlahan dari kebalikan semua bilangan asli berpangkat \displaystyle k.

Signifikansi dari fungsi zeta ini terlihat dari kaitan eratnya dengan bilangan prima. Salah satu kaitan yang ditemukan oleh Euler adalah sebagai berikut. Kita ketahui

\displaystyle \zeta(k)=\frac{1}{1^k}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+\frac{1}{4^k}+\frac{1}{5^k}+\ldots

Kalikan kedua ruas dengan \displaystyle \frac{1}{2^k}, diperoleh

\displaystyle \frac{1}{2^k}\zeta(k)=\frac{1}{2^k}+\frac{1}{4^k}+\frac{1}{6^k}+\frac{1}{8^k}+\frac{1}{10^k}+\ldots

Kurangkan persamaan ini dari persamaan sebelumnya, maka semua suku yang penyebutnya memiliki faktor \displaystyle 2 akan hilang, dan tersisa

\displaystyle \left(1-\frac{1}{2^k}\right)\zeta(k)=\frac{1}{1^k}+\frac{1}{3^k}+\frac{1}{5^k}+\frac{1}{7^k}+\frac{1}{9^k}+\ldots

Kalikan kedua ruas dengan \displaystyle \frac{1}{3^k}, diperoleh

\displaystyle \frac{1}{3^k}\left(1-\frac{1}{2^k}\right)\zeta(k)=\frac{1}{3^k}+\frac{1}{9^k}+\frac{1}{15^k}+\frac{1}{21^k}+\frac{1}{27^k}+\ldots

Kurangkan persamaan ini dari persamaan sebelumnya, diperoleh

\displaystyle \left(1-\frac{1}{3^k}\right)\left(1-\frac{1}{2^k}\right)\zeta(k)=\frac{1}{1^k}+\frac{1}{5^k}+\frac{1}{7^k}+\frac{1}{11^k}+\frac{1}{13^k}+\ldots

di mana semua suku yang penyebutnya memiliki faktor \displaystyle 2 dan \displaystyle 3 telah hilang. Lanjutkan prosedur ini dengan mengalikan \displaystyle \frac{1}{5^k}, \displaystyle \frac{1}{7^k}, \displaystyle \frac{1}{11^k}, \displaystyle \ldots, sehingga pada akhirnya diperoleh

\displaystyle \ldots\left(1-\frac{1}{7^k}\right)\left(1-\frac{1}{5^k}\right)\left(1-\frac{1}{3^k}\right)\left(1-\frac{1}{2^k}\right)\zeta(k)=\frac{1}{1^k}

Jadi,

\displaystyle \zeta(k)=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^k}\right) \left(1-\frac{1}{3^k}\right) \left(1-\frac{1}{5^k}\right) \left(1-\frac{1}{7^k}\right)\ldots}=\prod_{p \text{ prima}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^k}}

Khusus untuk \displaystyle k=1, pengetahuan kita bahwa \displaystyle \zeta(1) bernilai tak berhingga tadi memberikan kesimpulan bahwa hasil perkalian \displaystyle\prod_{p \text{ prima}}\frac{1}{1-\frac{1}{p}} adalah tak berhingga. Oleh karena itu, banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga, sebab seandainya banyaknya bilangan prima berhingga, maka hasil perkalian tersebut tentu berhingga.

Hipotesis Riemann

Tentang nilai fungsi zeta, sejauh ini yang telah kita ketahui barulah bahwa \displaystyle\zeta(1) tidak terdefinisi dan \displaystyle\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}. Nilai fungsi zeta di himpunan bilangan asli selain \displaystyle 1 telah banyak diteliti, terutama oleh Euler. Chebyshev selanjutnya memperluas dengan mendefinisikan fungsi zeta di himpunan bilangan real yang lebih dari \displaystyle 1. Hal ini selaras dengan yang kita pelajari dalam kalkulus, yaitu bahwa \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^k} konvergen jika dan hanya jika \displaystyle k>1.

Kenyataannya, dalam makalahnya pada tahun 1859, Riemann menawarkan ruang pembahasan yang lebih luas lagi. Riemann memberikan suatu definisi yang lebih umum dari fungsi zeta sehingga fungsi tersebut terdefinisi tidak hanya pada bilangan-bilangan tertentu saja, tetapi pada semua bilangan kompleks kecuali \displaystyle 1.

Dengan definisi yang lebih umum itu, Riemann kemudian berhasil memperoleh suatu rumus eksak untuk menghitung banyaknya bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan suatu bilangan real \displaystyle x, yang dinyatakan dalam akar-akar dari fungsi zeta. Tentu saja yang dimaksud dengan akar dari fungsi zeta adalah bilangan kompleks \displaystyle x yang memenuhi \displaystyle \zeta(x)=0.

Dari definisi yang kita lihat di atas, yang berlaku hanya di himpunan bilangan real yang lebih dari \displaystyle 1, fungsi zeta tidak memiliki akar. Tetapi dari definisi umum yang diberikan oleh Riemann, fungsi ini ternyata memiliki akar-akar \displaystyle -2, \displaystyle -4, \displaystyle -6, \displaystyle \ldots yang disebut akar-akar trivial, dan semua akar lainnya (yang disebut akar-akar nontrivial) merupakan bilangan kompleks sejati yang diketahui memiliki bagian real yang terletak di antara \displaystyle 0 dan \displaystyle 1. Beberapa akar nontrivial yang pertama, dalam aproksimasi, adalah \displaystyle \frac{1}{2}\pm \text{14,13}i, \displaystyle \frac{1}{2}\pm \text{21,02}i, \displaystyle \frac{1}{2}\pm \text{25,01}i, \displaystyle \frac{1}{2}\pm \text{30,42}i, \displaystyle \ldots. Dari sini timbul dugaan bahwa semua akar nontrivial tersebut memiliki bagian real \displaystyle \frac{1}{2}. Dugaan ini disebut sebagai hipotesis Riemann.

Sampai dengan saat artikel ini ditulis, hipotesis Riemann belum berhasil dibuktikan oleh siapapun. Bahkan, hipotesis Riemann sekarang tercatat sebagai salah satu dari tujuh masalah milenium di dalam daftar milik Institut Matematika Clay (http://www.claymath.org/millennium-problems). Siapapun yang berhasil memecahkan masalah yang manapun dari ketujuh itu akan diberi hadiah uang satu juta dolar Amerika. Salah satu dari tujuh masalah itu, yaitu konjektur Poincaré, telah berhasil dipecahkan oleh Grigori Perelman, seorang matematikawan asal Rusia, pada tahun 2003 yang lalu.

Penutup

Dimulai dari deret harmonik, tulisan ini sampai pada hipotesis Riemann yang menyimpan misteri bilangan prima. Alur pembahasannya kurang lebih menceritakan cikal-bakal ilmu teori bilangan analitik. Tulisan ini terinspirasi dari dua seminar menarik yang telah penulis hadiri, yaitu “Hardy, Littlewood, Ramanujan, and Cartwright” oleh Prof Raymond Flood (http://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/hardy-littlewood-cartwright-and-ramanujan) dan “Euler’s Number Theory” oleh Prof Robin Wilson, yaitu seminar kedua dalam konferensi The History of Number Theory (https://www.eventbrite.co.uk/e/the-history-of-number-theory-tickets-19799229027?ref=estw%20%E2%80%A6). Mudah-mudahan tulisan ini menarik dan bermanfaat.

London, 30 Mei 2016

Jonathan Hoseana

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s