Bersahabat dengan Orang-Orang Kudus

Pengantar

Sebagaimana tertulis dalam Syahadat Para Rasul, Orang Katolik percaya akan persekutuan para kudus. Sederhananya, para kudus atau orang-orang kudus adalah orang-orang yang telah meninggal dari dunia ini dan sekarang berada di surga. Karena kita juga berharap kelak dapat bergabung bersama mereka di surga, maka sudah sepatutnya kita mempelajari lebih dalam tentang mereka. Tulisan ini akan membahas berbagai hal yang berkaitan dengan para kudus.

Keberadaan dan Peranan Orang-Orang Kudus

Saat menghadapi sesuatu yang sulit dan berat dalam hidup ini, tentu kita sebagai manusia pernah meminta doa dari orang lain, misalnya dari anggota keluarga atau teman. Meminta doa dari orang lain tentu tidak salah, tetapi perlu diingat bahwa mereka, sebagaimana kita, hanyalah manusia biasa, yang sama-sama masih hidup di dunia dan masih terhalang oleh kodrat manusia yang senantiasa berbuat dosa. Lantas, suatu usulan yang bagus adalah, bagaimana kalau kita meminta doa dari seseorang yang sekarang berada di surga, yaitu di tempat yang sama dengan tempat Kristus dan Bunda Maria sekarang berada. Karena mereka begitu dekat dengan Allah, maka bantuan doa-doa dari mereka memberikan lebih banyak harapan akan tersampaikannya doa-doa kita kepada Allah. Mereka adalah orang-orang benar, dan doa orang-orang benar sangatlah besar kuasanya [Yakobus 5:16].

Tetapi bukankah mereka sudah meninggal? Bolehkah kita berkomunikasi dengan orang yang sudah meninggal? Tentu saja boleh. Kristus sendiri, pada peristiwa transfigurasi di gunung Tabor [Matius 17:1-9, Markus 9:2-13, Lukas 9:28-36], berbicara dengan Musa dan Elia, dua nabi dari Perjanjian Lama. Walaupun mereka sudah meninggal, mereka tidak pasif. Mereka melihat apa yang sedang terjadi di dunia, bagaikan awan yang mengelilingi kita [Ibrani 12:1], dan mereka membawa doa-doa kita kepada Allah [Wahyu 5:8]. Bersama mereka, kita dalam gereja Katolik adalah satu tubuh [1 Korintus 12:20-21] yang disebut sebagai tubuh mistik Kristus.

Jadi mata tidak dapat berkata kepada tangan: “Aku tidak membutuhkan engkau.” Dan kepala tidak dapat berkata kepada kaki: “Aku tidak membutuhkan engkau.” – 1 Korintus 12:21

Selain sebagai orang yang bisa kita mintai doa (atau istilah yang biasa digunakan adalah perantaraan), alasan lain kita menjalin relasi dengan orang-orang kudus adalah karena jasa-jasa atau perbuatan-perbuatan inspiratif yang mereka lakukan semasa hidup yang menjadikan mereka patut dikagumi dan diteladani. Pertama-tama kita membaca atau menonton kisah hidup orang kudus tertentu, kemudian kita terinspirasi dan muncul perasaan kagum. Dari situ kemudian, sebagai pribadi yang mau terus menyempurnakan diri [Matius 5:48], kita akan terdorong untuk meneladani perbuatan-perbuatan baiknya dan menjadikan dia sebagai panutan. Kemudian pengetahuan bahwa saat ini dia ada di surga, melihat yang kita hadapi di dunia, dan membawa doa-doa kita kepada Allah menyadarkan kita bahwa dia mengasihi kita dan peduli kepada kita. Hal ini kemudian memudahkan kita untuk menjalin relasi yang baik dengan orang kudus tersebut. Kegiatan rohani apapun yang kita lakukan untuk menunjukkan kasih dan hormat kita kepada orang kudus tersebut disebut devosi.

Prosedur Deklarasi Bahwa Seseorang Adalah Orang Kudus

Sekali lagi, orang kudus adalah orang yang sudah meninggal dan sekarang berada di surga. Pertanyaannya kemudian, bagaimana Gereja Katolik bisa menjamin bahwa orang tersebut sekarang berada di surga, untuk kemudian dideklarasikan ke umat Katolik di seluruh dunia. Bagian ini akan menjelaskan prosedurnya, yang ternyata cukup rumit dan tiap-tiap tahapnya bisa membutuhkan waktu bertahun-tahun. Penting untuk disebutkan bahwa prosedur ini berulang kali direvisi di sepanjang sejarah Gereja Katolik; yang akan dijelaskan berikut ini adalah yang berlaku sekarang. Prosedur ini terdiri dari empat tahap.

Misalkan ada seseorang bernama A yang akan dideklarasikan sebagai orang kudus. Prosedur deklarasi tersebut baru bisa dimulai ketika A sudah meninggal (sebenarnya ada masa tunggu lima tahun setelah meninggal, tetapi masa tunggu ini bisa dihapuskan oleh Paus). Tahap pertama, seseorang yang mengenal A dengan baik semasa hidupnya memberi usul kepada Uskup setempat bahwa A dianggap layak dinobatkan sebagai orang kudus. Jika Uskup setuju, maka A diberi gelar Hamba Allah. Pada tahap kedua dilakukan pengumpulan informasi selengkap-lengkapnya tentang A di keuskupan setempat dengan dibantu oleh ahli sejarah dan teologi, yang hasilnya kemudian dilaporkan ke Kongregasi Bagi Penyebab Penganugerahan Gelar Santo-Santa di Tahta Suci di Italia, suatu kongregasi di Tahta Suci yang didedikasikan sepenuhnya untuk proses ini. Kongregasi ini kemudian memeriksa laporan tersebut untuk memutuskan bahwa sudah ada bukti yang cukup, dan dengan persetujuan Paus, jika diperoleh, kemudian memberi A gelar Yang Terhormat.

Tahap ketiga adalah mencari bukti bahwa A sekarang berada di surga dan mendoakan kita. Hal ini dilakukan dengan cara mencari mujizat yang terjadi di dunia karena ada seseorang di dunia yang meminta doa dari A setelah A meninggal. Jika sesuatu yang diduga mujizat ditemukan, maka dilakukan pengkajian yang amat teliti dan kritis oleh suatu tim ahli untuk mengkonfirmasi bahwa itu memang sungguh-sungguh mujizat yang dicari. Biasanya tetapi tidak selalu, mujizat ini berupa seseorang yang menderita penyakit tak tersembuhkan yang ternyata sembuh total dalam waktu singkat dengan alasan yang tidak dapat dijelaskan oleh dokter setelah ada yang meminta doa dari A dan bukan dari orang kudus yang lain. Setelah laporan tentang suatu mujizat disetujui oleh Paus, A digelari Beato (jika A laki-laki) atau Beata (jika A perempuan), yang artinya Yang Terberkati. Sebagai catatan, jika Paus menyetujui bahwa A terbukti meninggal sebagai seorang martir (meninggal karena mempertahankan imannya), maka tahap ini tidak perlu dilakukan; A langsung digelari Beato/Beata tanpa perlu mencari suatu mujizat. Upacara pemberian gelar Beato/Beata disebut beatifikasi dan umumnya diselenggarakan di keuskupan setempat yang dulu mengusulkan deklarasi. Sejak saat ini, ditetapkan pula tanggal pesta dari A, tetapi hanya boleh dirayakan di tempat-tempat di mana A pernah berjasa atau dikenal dengan baik. Umat sudah boleh mempercayai bahwa A sedang berada di surga, walaupun ia belum bergelar Santo/Santa.

Tahap keempat adalah mencari satu mujizat lagi dengan cara yang sama persis. Jika satu mujizat tambahan ini disetujui oleh Paus, A digelari Santo (jika A laki-laki) atau Santa (jika A perempuan). Pencarian satu mujizat tambahan ini dapat dihapuskan dalam kasus-kasus tertentu di mana Paus menganggap sudah terdapat cukup bukti untuk memberi A gelar Santo/Santa. Upacara pemberian gelar Santo/Santa disebut kanonisasi dan diselenggarakan oleh Paus sendiri. Sejak saat ini, perayaan pesta A tidak dibatasi di tempat-tempat di mana A pernah berjasa saja, tetapi di seluruh dunia. Nama A juga sekarang sudah boleh dipakai sebagai nama bangunan gereja, sekolah, rumah sakit, dan sebagainya.

Kecuali tahap pertama, setiap tahap dalam prosedur deklarasi tersebut bergantung pada persetujuan Paus yang sedang menjabat, karena beliaulah yang sedang memegang otoritas tertinggi. Otoritas tertinggi ini ditransmisikan seiring berjalannya waktu tanpa terputus dari Paus pertama, yaitu Rasul Santo Petrus, satu-satunya rasul yang menerima langsung dari Kristus kunci kerajaan Surga dan otoritas khusus untuk mengikat dan melepaskan [Matius 16:19] serta perintah untuk menggembalakan domba-domba-Nya [Yohanes 21:15-17]; namanya berarti batu karang dan di atas batu karang inilah Kristus mendirikan gereja-Nya [Matius 16:18]. Transmisi yang tak terputus dari otoritas ini disebut suksesi apostolik.

Beberapa Orang Kudus

Pada bagian ini penulis akan menyebutkan beberapa orang kudus. Pertama, kita sebagai orang Katolik mempunyai alasan yang amat kuat untuk menghormati Bunda Maria, selain sebagai Bunda Kristus dan Bunda Gereja [Yohanes 19:26-27, Katekismus Gereja Katolik 963] juga sebagai satu-satunya orang kudus yang dikandung tanpa noda [Katekismus Gereja Katolik 491] dan sebagai satu-satunya orang kudus yang tidak hanya jiwanya tetapi juga raganya sekarang berada di surga bersama Kristus [Katekismus Gereja Katolik 966]. Kedekatan Bunda Maria kepada Kristus yang memudahkannya menyampaikan kepeduliannya terhadap kita terlihat, misalnya, pada kisah pesta pernikahan di Kana [Yohanes 2:1-11], di mana beliau mengatakan kepada Kristus, “Mereka kehabisan anggur.” Jawaban awal Kristus tidak menunjukkan bahwa Ia akan mulai membuat mujizat. Tetapi, menyadari kepedulian ibunya terhadap situasi yang sedang terjadi, mujizat itu Ia buat. Oleh karena itu,

Penghormatan kepada Bunda Maria adalah normal; seorang Kristen yang tidak mengasihi atau tidak menghormati Bunda Maria adalah tidak normal. – Kardinal Arinze

Salah satu orang kudus favorit penulis adalah Santa Joan of Arc, lahir pada tanggal 6 Januari 1412 (hari pesta tiga raja) di Domremy, Perancis, suatu desa yang amat sederhana di mana kemudian ia —sebagai seorang gadis desa yang bahkan tidak memiliki kemampuan baca-tulis— hidup dan membantu orang tuanya bertani. Sejak berusia 13 tahun, beliau mendapatkan penglihatan dan mendengar suara dari tiga orang kudus, yaitu Santo Mikael Malaikat Agung, Santa Margaretha dari Antiokhia, dan Santa Katarina dari Alexandria, yang menyampaikan bahwa Allah menunjuknya untuk memimpin pasukan perang Perancis untuk membebaskan Perancis dari jajahan Inggris pada Perang Seratus Tahun yang sedang berlangsung saat itu. Pada usianya yang baru 16 tahun, ia berangkat untuk meyakinkan putera mahkota Charles VII yang menerima warisan tahta ayahnya yaitu Charles VI, bahwa penglihatan yang ia terima adalah benar, yaitu Perancis akan menang dan Charles VII akan dikoronasi. Setelah melalui kesulitan yang luar biasa, akhirnya Charles VII setuju dan membentuk suatu pasukan pria berkuda dengan Santa Joan sebagai pemimpin. Dari Chinon, kediaman Charles VII, pasukan itu berangkat ke Orléans. Di tengah perjalanan, Santa Joan mendengar suara yang memerintahkannya untuk singgah di Gereja Saint Catherine de Fierbois karena di situ ada pedang tersembunyi yang diberikan oleh Allah untuknya. Maka singgahlah mereka ke gereja tersebut, dan ternyata benar, setelah menggali, ditemukanlah sebuah pedang yang telah lama terkubur di salah satu altar samping di gereja tersebut. Selain membawa pedang itu, Santa Joan juga membawa bendera bergambar bunga lili (yang adalah simbol monarki Perancis) dan bertuliskan Yesus dan Maria, yang —sebagaimana ia katakan sendiri— lebih dicintainya empat puluh kali lipat daripada pedangnya. Pada peperangan untuk mengusir Inggris dari Orléans pada tanggal 7 Mei 1429, sebagaimana yang pernah dinubuatkannya, Santa Joan terkena panah tepat di atas dada kirinya dan terjatuh ke belakang dengan rasa sakit yang luar biasa. Tetapi dalam waktu singkat, ia kemudian melepaskan panah itu dan memerintahkan pasukan Perancis untuk kembali menyerang. Keesokan harinya, yaitu 8 Mei 1429, perang berakhir dan Orléans kembali ke tangan Perancis. Atas jasanya memimpin perebutan Orléans dari Inggris ini, Santa Joan digelari maid of Orléans. Tetapi kisah heroiknya tidak berakhir di sini; ia dan pasukannya kemudian menempuh perjalanan ke kota Reims, di mana kemudian Charles VII dikoronasi pada tanggal 16 Juli 1429. Pada tanggal 23 Mei 1430, Santa Joan menyerah di tangan para pejabat dan klerus Perancis pro-Inggris yang menangkapnya dengan tuduhan bahwa Santa Joan berperilaku sesat, yang menurut mereka terbukti oleh fakta bahwa ia patuh pada suara-suara supranatural dan sering memakai pakaian pria, tindakan yang pada saat itu dianggap sebagai suatu kejahatan besar. Pada akhir tahun 1430, Santa Joan dipenjarakan di Rouen dan, pada tanggal 30 Mei 1431, di usianya yang baru 19 tahun, ia dieksekusi mati dengan cara diikatkan ke sebuah tonggak lalu dibakar hidup-hidup di tengah kerumunan sekitar 10.000 orang. Pada saat ia diikat dan akan dibakar, beliau meminta dua orang Romo untuk memegangi sebuah salib di hadapannya. Pembakaran tubuhnya dilakukan berulang kali sampai menjadi abu yang kemudian dibuang ke Sungai Seine. Baru kemudian pada tahun 1456, Paus Callixtus III yang saat itu menjabat, mengkaji ulang lalu mencabut tuduhan yang diberikan kepada Santa Joan dan menyatakan bahwa Santa Joan tidak bersalah. Santa Joan mendapat gelar Beata pada tanggal 18 April 1909 dan gelar Santa pada tanggal 16 Mei 1920. Pestanya dirayakan setiap tanggal 30 Mei, yaitu tanggal meninggalnya. Beliau sangat dihormati di Perancis, oleh orang Katolik sebagai seorang Santa dan oleh orang awam sebagai seorang pahlawan nasional.

7301142176_90c77d7553_k

Mosaik Santa Joan of Arc di Katedral Westminster, London, Inggris. Mosaik ini selesai dibuat pada tahun 1912; pada saat itu Santa Joan belum bergelar Santa, ia baru bergelar Beata. [https://farm9.staticflickr.com/8156/7301142176_90c77d7553_k_d.jpg]

Orang kudus ada sebanyak ribuan (dan akan terus bertambah), dan setiap orang bisa secara personal terinspirasi oleh kisah hidup dari orang kudus yang manapun. Adakalanya seseorang ingin menjalin relasi dengan orang kudus yang terkait dengan bidang pekerjaan atau kesulitan atau penyakit yang dihadapinya, misalnya Santo Thomas Aquinas pelindung para pelajar dan akademisi, Santa Lusia dari Sirakusa pelindung para penderita penyakit mata, Santo Peregrinus pelindung para penderita kanker, Rasul Santo Yudas Tadeus pelindung orang yang menghadapi perkara sulit, Santo Antonius dari Padua pelindung orang yang mencari benda yang hilang, Santa Gianna Beretta Molla pelindung para pelawan aborsi (yang saat mengandung anaknya yang keempat dan didiagnosa memiliki tumor di rahimnya lebih memilih untuk mati setelah melahirkan daripada menggugurkan bayi tersebut), dan sebagainya. Ada juga orang-orang kudus yang terkait dengan penampakan-penampakan Bunda Maria, misalnya Santa Bernadette Soubirous yang melihat penampakan Bunda Maria di Lourdes, Perancis pada tahun 1858, Santa Katarina Laboure yang melihat penampakan Bunda Maria di Paris, Perancis pada tahun 1830, juga Santo Francisco dan Santa Jacinta, dua dari tiga anak yang melihat penampakan Bunda Maria di Fatima, Portugal pada tahun 1917. Dua anak bersaudara ini adalah Santo dan Santa non-martir yang termuda; mereka meninggal pada usia 10 tahun dan 9 tahun, secara berturut-turut. Ada juga yang terkait dengan penampakan Yesus Kristus, misalnya Santa Faustina Kowalska, seorang suster (biarawati) yang melihat penampakan Yesus Kristus di Łódź, Polandia yang melatarbelakangi suatu devosi yang disebut Devosi Kerahiman Ilahi.

Relikui dan Klasifikasinya

Ada banyak benda yang dapat membantu kita memelihara relasi dengan seseorang. Seorang anak yang menyayangi ayahnya, misalnya, senang menyimpan foto ayahnya, atau, jika ayahnya sudah meninggal, menyimpan barang yang pernah dimiliki ayahnya ketika masih hidup. Oleh karena itu, jika seseorang menjalin relasi dengan orang kudus, tentu wajar jika ia menyimpan benda-benda yang berkaitan dengan orang kudus tersebut sebagai bagian dari devosi. Di gereja-gereja Katolik tentu terdapat patung, gambar, atau mosaik dari Bunda Maria. Di Indonesia, patung Bunda Maria yang paling banyak ditemui adalah patung yang dibuat berdasarkan penampakan beliau di Lourdes, Perancis. Di beberapa gereja bahkan patung tersebut diletakkan di dalam sebuah gua buatan yang disebut Gua Maria, sebagai pengingat akan gua di Lourdes di mana penampakan itu terjadi.

Selain patung, gambar, atau mosaik, kita juga bisa menyimpan atau memakai medali. Medali adalah bagian dari devosi dan tidak mempunyai kesaktian atau kekuatan gaib apapun. Namun, orang-orang kudus, misalnya Bunda Maria, dapat menjanjikan hal-hal baik kepada pemakainya. Pada penampakannya kepada Santa Katarina Laboure, Bunda Maria meminta untuk dibuatkan sebuah medali yang kemudian dikenal sebagai medali wasiat dan menjanjikan pencurahan rahmat kepada mereka yang memakainya.

Benda yang lebih sakral adalah relikui. Relikui dari orang kudus adalah peninggalan dari orang kudus tersebut. Di gereja-gereja, relikui yang diekspos kepada umat biasanya disimpan dalam sebuah bejana kaca berdesain indah yang disebut relikuarium dengan tujuan untuk mencegah kontak langsung dengan benda-benda luar (termasuk tangan kita) sehingga relikui tersebut aman dan tahan lama. Selain yang diekspos kepada umat, ada juga relikui yang dipasang di dalam atau di bawah altar [Pedoman Umum Misale Romawi 302].

Karena orang kudus sekarang sudah ada di surga, maka relikui adalah benda yang sakral (tulang-tulang Elisa membangkitkan orang mati [2 Raja-Raja 13:21], jubah Elia membelah sungai Yordan [2 Raja-Raja 2:14], sapu tangan atau kain yang pernah dipakai oleh Rasul Santo Paulus menyembuhkan penyakit dan mengusir roh-roh jahat [Kisah Para Rasul 19:11-12]). Berdasarkan tingkat kesakralannya, relikui dari orang kudus dibedakan menjadi tiga kelas. Relikui kelas pertama, yaitu yang paling sakral, adalah peninggalan berupa bagian tubuh dari orang kudus. Tidak semua orang kudus yang pernah hidup di dunia ini memiliki relikui kelas pertama. Santa Joan of Arc, misalnya, yang meninggal karena tubuhnya dibakar sampai menjadi abu lalu dibuang ke sungai, tidak memiliki peninggalan bagian tubuh apapun. Relikui kelas kedua adalah peninggalan berupa benda milik orang kudus, misalnya pakaian dan bangunan makam dari orang kudus tersebut. Relikui kelas ketiga adalah benda apapun yang pernah bersentuhan dengan relikui kelas pertama atau kedua.

Berikut adalah contoh-contoh relikui kelas pertama. Basilika Sainte-Anne-de-Beaupré di Quebec, Kanada, misalnya, menyimpan tulang lengan Santa Anna, ibu dari Bunda Maria. Gereja Santo Aloysius Gonzaga di Oxford, Inggris, yang biasa disebut Oxford Oratory, menyimpan beberapa potongan rambut Bunda Teresa. Hanya ada tujuh gereja di dunia, dua di antaranya adalah Katedral Manila, Filipina dan Paroki Santo Fransiskus Asisi di Cheras, Malaysia, yang masing-masing menyimpan sebuah botol kecil berisi darah Santo Yohanes Paulus II.

tulang lengan santa anna.jpg

Tulang lengan Santa Anna yang disimpan di Basilika Sainte-Anne-de-Beaupré di Quebec, Kanada. [https://66.media.tumblr.com/b69e05bec52acd0951649070f4df8af6/tumblr_n9by80DvRw1sknvnko1_500.jpg]

Sangtuarium Santo Yohanes Paulus II di Krakow, Polandia, menyimpan banyak benda peninggalan Sang Paus, salah satunya adalah jubah yang dikenakannya pada peristiwa penembakan beliau di Lapangan Santo Petrus, Vatikan, pada tanggal 13 Mei 1981. Jubah ini merupakan relikui kelas kedua, tetapi bercak darah yang membekas di jubah itu merupakan relikui kelas pertama.

JPII-robe

Jubah berdarah dari Santo Yohanes Paulus II yang disimpan di Sangtuarium Santo Yohanes Paulus II di Krakow, Polandia. [http://www.krakow-info.com/images/JPII-robe.jpg]

Santo Yohanes Paulus II dan Santo Paulus VI pernah mengunjungi Katedral Jakarta pada tahun 1989 dan 1970, secara berturut-turut. Masing-masing dari kedua Paus ini menghadiahkan beberapa benda miliknya yang sekarang tersimpan di Museum Katedral Jakarta, yaitu piala dan patena milik Santo Yohanes Paulus II dan mitra dan tongkat gembala milik Santo Paulus VI. Benda-benda ini merupakan relikui kelas kedua, sedangkan benda apapun yang pernah mereka sentuh menjadi relikui kelas ketiga.

kamarjohnpaul2

Kamar tidur di Seminari Tinggi Santo Petrus Ritapiret, Maumere, Indonesia di mana Santo Yohanes Paulus II pernah menginap sekarang menjadi relikui kelas ketiga sehingga digunakan oleh para pengunjung untuk berdoa. [https://cdn-images-1.medium.com/max/1600/1*yh6n9vK8UFxP3q0BfIRatA.jpeg]

Relikui kelas ketiga tidak sulit untuk didapatkan. Benda apapun, misalnya sehelai kain, dapat dijadikan relikui kelas ketiga dengan cara menyentuhkannya, misalnya, ke bangunan makam dari seorang kudus. Kemudahan ini dapat mendorong dan memperbebas pengedaran relikui. Akan tetapi, relikui kelas berapapun sama sekali tidak boleh diperjualbelikan [Hukum Kanonik 1190]. Sayangnya, masih ada orang yang menjual relikui (misalnya melalui internet), bahkan ada penipu-penipu yang menjual relikui palsu.

Ada satu lagi jenis relikui yang lain dari yang lain, yaitu benda-benda yang dipercaya berkaitan langsung dengan kehidupan Kristus. Walaupun banyak yang masih membutuhkan studi lebih lanjut untuk mengkonfirmasi keasliannya, relikui-relikui yang demikian dimasukkan ke kelas pertama. Basilika Santa Maria Mayor di Roma, Italia, misalnya, menyimpan potongan kayu dari palungan di mana bayi Kristus dulu pernah diletakkan. Basilika Salib Suci Yerusalem, yang juga terletak di Roma, Italia, menyimpan papan yang dulu dipasang di bagian atas salib Kristus, dua duri dari mahkota duri Kristus, sebuah potongan paku Kristus, dan tiga potongan kecil dari kayu salib Kristus. Katedral Notre Dame di Paris, Perancis menyimpan mahkota duri Kristus. Basilika Darah Suci di Bruges, Belgia, menyimpan sebuah botol kecil yang di dalamnya terdapat darah Kristus.

Relikui-relikui di Basilika Salib Suci Yerusalem, Roma, Italia

Relikui-relikui di Basilika Salib Suci Yerusalem, Roma, Italia. [https://odnmedia.s3.amazonaws.com/image/sjm/vitrina1.jpg]

Hari Semua Orang Kudus

Hari Semua Orang Kudus jatuh pada tanggal 1 November setiap tahunnya, dan merupakan satu dari sepuluh hari wajib Misa [Kitab Hukum Kanonik 1246], yaitu hari di mana semua umat Katolik wajib menghadiri Misa pada hari tersebut atau sore hari sebelumnya. Hari Semua Orang Kudus disebut dalam Bahasa Inggris sebagai All Saints’ Day atau All Hallows’ Day, sedangkan sore hari sebelumnya (31 Oktober) disebut All Hallows’ Evening, yang kemudian disingkat menjadi Halloween dan, sayangnya, sering dirayakan secara sekuler dengan mengacu kepada hantu, setan, dan roh-roh jahat. Sedangkan tanggal 2 November adalah Hari Semua Jiwa (All Souls’ Day). Walaupun bukan hari raya wajib Misa, alangkah baiknya bila pada Hari Semua Jiwa kita juga menghadiri Misa untuk bersama-sama mendoakan semua jiwa di api penyucian.

Penutup

Semoga tulisan ini dapat memberikan gambaran yang baik dan benar tentang peranan orang-orang kudus dalam gereja Katolik. Mudah-mudahan melalui tulisan ini juga dapat disadari betapa kelirunya anggapan bahwa orang Katolik menyembah atau menuhankan orang-orang Kudus.

Sumber-sumber dari tulisan ini adalah sebagai berikut. Sumber tentang keberadaan dan peranan orang-orang kudus adalah video-video dari Catholic Answers, yaitu Why should you ask for the intercession of the saints?, Do the saints know what is happening in our lives?, Isn’t Christ the only mediator between God and man?, Why do Catholics pray to the saints in heaven?, dan How can Mary and the saints in heaven hear our prayers?. Sumber tentang prosedur deklarasi orang kudus adalah laman Katolisitas ini dan video ini. Tentang suksesi apostolik adalah video dari Catholic Answers yaitu What is the Evidence for Papal Primacy?. Homili Kardinal Arinze tentang Bunda Maria dapat disimak di sini. Tulisan tentang Santa Joan of Arc bersumber dari buku For God and Country: The Heroic Life and Martyrdom of Saint Joan of Arc yang ditulis oleh Romo Michael Cerrone, serta laman wikipedia ini dan ini. Mosaik Santa Joan of Arc di Katedral Westminster dibahas di website katedral tersebut. Terakhir, sumber-sumber tentang relikui adalah laman Katolisitas ini, video ini tentang Museum Katedral Jakarta, dan berita ini.

London, 31 Desember 2018

Jonathan Hoseana

Advertisements

Projeksi Stereografis: Dari Satu Dibagi Nol ke Teknik Pengintegralan

Pengantar

Pada episode ke-837 dari program televisi Ini Talkshow, komedian asal Indonesia Timur Abdur Arsyad, yang juga seorang matematikawan, memberikan gombalan matematis berikut kepada artis Karina Salim,

“Karina, perasaanku kepadamu seperti pecahan berpenyebut nol, yaitu tak berhingga.”

Beberapa dari pembaca mungkin bertanya-tanya, bukankah pecahan berpenyebut nol nilainya tak terdefinisi? Jadi, hasil bagi sebuah bilangan tak nol dengan nol apakah tak terhingga ataukah tak terdefinisi?

Tergantung Himpunan Semesta Pembicaraan

Singkatnya, jawaban dari pertanyaan di atas adalah, tergantung himpunan semesta dari pembicaraan kita. Setiap pembicaraan dalam matematika yang menyangkut bilangan atau peubah memiliki himpunan semesta. Misalnya, ketika kita berbicara mengenai keterbagian, himpunan semesta kita adalah himpunan bilangan bulat, sebab hanya di sinilah konsep keterbagian didefinisikan. Tetapi ketika kita berbicara mengenai kalkulus satu peubah, himpunan semesta kita adalah himpunan bilangan real. Karena himpunan semesta tidak tetap, maka perlu dijelaskan dalam setiap definisi.

Pertanyaannya sekarang, pada saat kita berbicara mengenai pembagian, apakah himpunan semesta kita. Di bangku sekolah, himpunan bilangan paling luas yang kita kenal adalah himpunan bilangan real \mathbb{R}. Oleh karena itu, himpunan inilah yang kita pakai sebagai semesta. Konsekuensinya, pembagian-pembagian yang didefinisikan hanyalah pembagian-pembagian a\div b yang hasilnya bilangan real, oleh karena itu pada pembagian tersebut haruslah a dan b bilangan real dengan b\neq 0. Dengan demikian, pembagian oleh nol tak terdefinisi.

Tetapi untuk keperluan dalam matematika di tingkat yang lebih tinggi, adakalanya pemakaian himpunan bilangan real \mathbb{R} sebagai himpunan semesta dirasa kurang menyenangkan. Sebagai contoh, kita dapat dengan mudah membentuk suatu barisan yang semua sukunya merupakan bilangan real tetapi divergen, yaitu memiliki limit \infty, yang bukan bilangan real. Oleh karena itu, muncullah suatu gagasan untuk memasukkan \infty ke dalam himpunan semesta, sehingga himpunan semesta yang awalnya \mathbb{R} berubah menjadi \hat{\mathbb{R}}:=\mathbb{R}\cup\{\infty\}. Proses ini disebut kompaktifikasi himpunan bilangan real. Hasilnya, yaitu himpunan \hat{\mathbb{R}}, dikatakan bersifat kompak, artinya setiap barisan yang suku-sukunya merupakan anggota himpunan tersebut memiliki subbarisan yang limitnya juga merupakan anggota himpunan tersebut. Kalau himpunan semesta kita adalah \hat{\mathbb{R}}, yaitu himpunan bilangan real yang terkompaktifikasi, maka pecahan berpenyebut nol bernilai tak berhingga.

Projeksi Stereografis

Sekarang kita berikan arti geometri dari kompaktifikasi himpunan bilangan real. Himpunan bilangan real \mathbb{R}, seperti biasa, dapat kita gambar sebagai sebuah garis lurus. Untuk keperluan berikutnya dalam tulisan ini, kita gambarkan garis lurus ini secara vertikal, alih-alih horisontal. Dengan kata lain, anggaplah garis ini adalah sumbu-y di bidang Cartesius. Sumbu-y adalah himpunan titik-titik yang masing-masing merepresentasikan suatu bilangan real (melalui korespondensi satu-satu (0,z) \mapsto z). Titik perpotongannya dengan sumbu-x, yaitu titik asal O=(0,0), merepresentasikan bilangan 0. Buatlah sebuah lingkaran yang berpusat di O. Jari-jarinya bebas; untuk mudahnya marilah kita tetapkan sebagai 1, sehingga lingkaran tersebut adalah lingkaran satuan. Titik potong lingkaran satuan dengan sumbu-x negatif kita beri nama N.

PS-1

Projeksi stereografis dari himpunan bilangan real

Sekarang, semua bilangan real yang terletak di sumbu-y akan kita pindahkan ke lingkaran satuan dengan cara sebagai berikut. Ambil sembarang bilangan real, misalnya 3. Tariklah garis yang menghubungkan titik (0,3) di sumbu-y —yang merepresentasikan bilangan real 3— ke N. Garis ini memotong lingkaran satuan, selain di N, di suatu titik lain. Ke titik lain inilah kita pindahkan bilangan 3.

PSpindahin3-1

Memprojeksikan bilangan 3

Mari kita coba sekali lagi. Ambil sembarang bilangan real, misalnya \frac{1}{2}. Tariklah garis yang menghubungkan titik \left(0,\frac{1}{2}\right) ke N. Garis ini memotong lingkaran satuan, selain di N, di suatu titik lain. Ke titik lain inilah kita pindahkan bilangan \frac{1}{2}.

PSpindahin1-2-1

Memprojeksikan bilangan 1/2

Dengan cara demikian, kita dapat memindahkan semua bilangan real dari sumbu-y ke lingkaran satuan. Dengan demikian, setiap titik pada lingkaran satuan merepresentasikan tepat satu bilangan real. Tetapi ada kecualinya, yaitu titik N, yang tidak merepresentasikan bilangan real apapun. Di titik N inilah kita letakkan \infty. Dengan demikian, kalau sumbu-y merepresentasikan \mathbb{R}, maka lingkaran satuan merepresentasikan \hat{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{\infty\}.

Pemetaan injektif yang memetakan setiap bilangan real di sumbu-y ke tepat satu titik pada lingkaran satuan disebut projeksi stereografis dan dapat dirumuskan aturannya secara analitik. Mulai dengan sembarang bilangan real z, kita susun persamaan garis yang melalui titik (0,z) di sumbu-y dan titik N=(-1,0) pada lingkaran satuan. Garis ini kemudian kita cari titik perpotongannya dengan lingkaran satuan, salah satu di antaranya adalah N, dan yang lainnya, dapat dibuktikan, adalah \left(\frac{1-z^2}{1+z^2},\frac{2z}{1+z^2}\right). Dengan demikian, projeksi stereografis adalah pemetaan z\mapsto \left(\frac{1-z^2}{1+z^2},\frac{2z}{1+z^2}\right).

Projeksi stereografis juga dapat dilakukan untuk mengompaktifikasi himpunan bilangan kompleks \mathbb{C}. Dalam hal ini kita mulai dengan bidang kompleks \mathbb{C} dan kita letakkan sebuah bola dengan jari-jari bebas pada titik asal O. Kemudian titik N kita tetapkan sebagai satu-satunya titik pada bola tersebut sehingga NO tegak lurus kedua sumbu koordinat. Sama seperti tadi, setiap titik di bidang kompleks \mathbb{C} dapat dikaitkan dengan tepat satu titik di bola tersebut dengan cara menghubungkannya dengan garis ke N lalu mencari titik potong yang lain dari garis tersebut dengan bola. Dengan demikian, setiap titik pada bola tersebut merepresentasikan tepat satu bilangan kompleks, kecuali N yang tidak merepresentasikan bilangan kompleks apapun. Kemudian di N ini kita letakkan \infty, sehingga bola tersebut merepresentasikan \hat{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup\{\infty\}, yaitu himpunan bilangan kompleks terkompaktifikasi. Bola ini disebut bola Riemann.

PSkompleks-1

Projeksi stereografis dari himpunan bilangan kompleks

Projeksi stereografis yang diterapkan di \mathbb{C} lebih terlihat penggunaannya dalam kehidupan. Bumi itu bulat. Tetapi untuk praktisnya, peta bumi perlu disajikan pada selembar kertas yang datar. Untuk keperluan ini, perlu dibuat korespondensi satu-satu antara titik-titik di bumi dengan titik-titik di kertas. Dengan projeksi stereografis, peta belahan bumi selatan, misalnya, dapat disajikan pada selembar kertas berbentuk lingkaran. Tetapi tentu penyajian yang seperti ini ada kelemahannya, misalnya, projeksi stereografis tidak mempertahankan jarak. Artinya, dua titik di permukaan bumi dengan jarak tertentu dikaitkan ke dua titik di kertas yang jaraknya belum tentu sama. Dari sini kemudian para ahli mengonstruksi projeksi-projeksi dengan aturan lainnya untuk dapat menggambar peta bumi di kertas dengan lebih baik.

Substitusi Weierstrass

Sementara itu, projeksi stereografis yang diterapkan di \mathbb{R}, erat kaitannya dengan sebuah teknik pengintegralan yang dikenal sebagai substitusi Weierstrass atau substitusi-z. Misalkan bilangan real z, yang direpresentasikan oleh titik Z=(0,z) di sumbu-y, dipetakan oleh projeksi stereografis ke titik P=\left(\frac{1-z^2}{1+z^2},\frac{2z}{1+z^2}\right) pada lingkaran satuan. Perhatikan bahwa kita dapat menulis P=(\cos\theta,\sin\theta), dengan \theta\in[0,2\pi) adalah besar sudut dari sumbu-x positif ke OP. Dengan demikian, \measuredangle NOP=\pi - \theta. Lalu karena OP=ON, maka \measuredangle ONP=\frac{\pi-\left(\pi-\theta\right)}{2}=\frac{\theta}{2}. Kemudian dengan menggunakan definisi \tan pada segitiga NOZ diperoleh bahwa z=\tan\frac{\theta}{2}.

PSsegitiga-1.png

Penurunan substitusi Weierstrass

Dengan demikian, untuk \theta\in[0,2\pi), tiga kesamaan berikut ekuivalen, yaitu

\displaystyle\tan\frac{\theta}{2}=z,     \displaystyle\cos\theta=\frac{1-z^2}{1+z^2},     dan     \displaystyle\sin\theta=\frac{2z}{1+z^2}.

Pengetahuan ini dapat digunakan untuk menyelesaikan integral-integral tak tentu dari pecahan-pecahan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri. Misalkan, kita ingin menyelesaikan

\displaystyle\int\frac{d\theta}{a\cos\theta+b\sin\theta+c}.

Pertama, misalkan z=\tan\frac{\theta}{2}. Dengan demikian,

\displaystyle dz=\frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2}\,d\theta=\frac{1}{2}\left(1+\tan^2\frac{\theta}{2}\right)d\theta=\frac{1+z^2}{2}\,d\theta

yang berarti

\displaystyle d\theta=\frac{2}{1+z^2}dz.

Selain itu kita juga mengetahui

\displaystyle\cos\theta=\frac{1-z^2}{1+z^2}     dan     \displaystyle\sin\theta=\frac{2z}{1+z^2}.

Substitusikan ketiganya ke integral tersebut kemudian sederhanakan, diperoleh bahwa

\displaystyle\int\frac{d\theta}{a\cos \theta + b\sin\theta + c}=\int\frac{2\,dz}{(c-a)z^2+2bz+a+c}.

Dengan melengkapkan bentuk kuadrat di penyebut, integral ini dapat diselesaikan dengan mudah, dan hasilnya adalah

\displaystyle\frac{2}{\sqrt{c^2-\left(a^2+b^2\right)}}\arctan\frac{(c-a)\tan\frac{\theta}{2}+b}{\sqrt{c^2-\left(a^2+b^2\right)}}+C.

Penutup

Walaupun alur dari tulisan ini bersumber dari inisiatif pribadi penulis, untuk detail penyajian dari beberapa bagian di dalamnya penulis merujuk ke Wikipedia ([1] dan [2]). Semoga tulisan ini bermanfaat.

London, 21 Desember 2018

Jonathan Hoseana

Agama

Pengantar

Mengapa kita perlu menganut suatu agama? Apakah benar bahwa semua agama mengajarkan kebaikan? Jika ya, mengapa ada konflik antaragama?

Agama dan Kebaikan

Semua agama mengajarkan kebaikan. Ya, itu benar. Tetapi dalam kalimat tersebut, perlu diperhatikan bahwa kebaikan bergantung pada agama. Mirip dengan kalimat berikut ini. Semua ibu di RT saya mempunyai suami. Tentu siapa suaminya tergantung pada siapa ibunya. Beda ibu, beda suami. Kalimat itu bukan berarti bahwa ada satu orang yang merupakan suami dari semua ibu di RT saya.

Jadi, beda agama, beda definisi kebaikan. Sesuatu yang baik menurut agama tertentu belum tentu baik menurut agama yang lain. Misalnya, ada suatu agama yang melarang penganutnya memakan jenis makanan tertentu yang tidak dilarang oleh agama lain. Inilah yang seharusnya lebih ditekankan, yaitu bahwa setiap agama mendefinisikan kebaikan secara berbeda-beda. Dan untuk menghadapi keberbedaan ini dibutuhkan toleransi.

Toleransi sendiri adalah bagian dari kebaikan juga. Tetapi karena definisi kebaikan menurut setiap agama berbeda-beda, maka perlu ditanyakan, apakah semua agama di dunia ini mengajarkan toleransi? Dengan kata lain, apakah menurut semua agama toleransi termasuk kebaikan? Jika ya, maka dengan asumsi bahwa setiap orang di dunia ini adalah orang sehat yang menganut suatu agama dan senantiasa taat pada ajaran agamanya, seharusnya di dunia ini tidak ada konflik antaragama.

Bayangkan seandainya di dunia ini tidak ada agama. Bayangkan seandainya setiap penduduk di dunia ini adalah orang egois tak beragama. Dalam situasi demikian, setiap orang akan mendefinisikan kebaikan dengan caranya sendiri. Definisi kebaikan berbeda-beda setiap orang. Pada saat artikel ini ditulis, penduduk di dunia ini ada sekitar 7,6 miliar orang [1]. Oleh karena itu, akan ada sebanyak 7,6 miliar definisi kebaikan yang berbeda satu sama lain. Sudah tentu, dunia ini menjadi amat rentan akan konflik.

Tetapi untunglah, dengan adanya agama, kenyataannya lebih baik. Seandainya di dunia ini hanya ada satu agama dan semua penduduk di dunia adalah orang sehat yang menganut agama ini, maka tentu dunia akan bebas dari konflik antaragama. Jika ada dua, maka asalkan kedua agama tersebut mengajarkan toleransi, maka tidak masalah juga. Secara umum, jika ada berapapun, maka asalkan semua agama mengajarkan toleransi, maka tidak akan ada masalah.

Tetapi perlu ditekankan, dalam argumentasi di atas diasumsikan bahwa setiap penganut agama senantiasa taat pada ajaran agama yang dianutnya, sebab hakikat dari menganut agama memanglah demikian. Ini adalah asumsi dasar yang, sayangnya, pada kenyataannya hampir tidak pernah benar. Di dunia ini banyak penganut agama yang seringkali mendefinisikan kebaikan bukan berdasarkan ajaran agama yang dianutnya, melainkan berdasarkan pendapat pribadi. Oleh karena itu, penganut agama yang demikian tidak berbeda dengan orang yang tidak menganut agama. Ada juga penganut agama yang bersifat pemilih, artinya ia hanya memilih dan menaati sebagian dari ajaran agamanya, dan mengabaikan ajaran lainnya. Karena yang mana yang ditaati dan yang mana yang diabaikan itu ditentukannya sendiri berdasarkan pendapat pribadi, maka sesungguhnya orang yang demikian mendefinisikan kebaikan berdasarkan pendapat pribadi juga, sehingga ia juga sama saja dengan orang yang tidak menganut agama.

Menjadi Penganut Agama Katolik yang Taat

Karena penulis beragama Katolik, maka penulis akan membicarakan agama Katolik. Agama Katolik hanya mempunyai satu definisi kebaikan yang tertuang dalam ajaran-ajaran di buku Katekismus Gereja Katolik dan dokumen-dokumen lainnya yang diterbitkan oleh Gereja. Ajaran-ajaran tersebut diturun-temurunkan dari yang diterima oleh para rasul (bdk. akhir kalimat pertama dari Doa Syukur Agung 1) seiring dengan silih-bergantinya Paus mulai dari Santo Petrus sampai sekarang (suksesi apostolik) [2], dan akan terus berlanjut sampai dunia ini berakhir. Oleh karena itu, ajaran-ajaran tersebut lengkap dan rinci, dan semakin lama akan semakin lengkap dan semakin rinci. Oleh karena itu, dalam menghadapi situasi apapun dalam hidup kita, hampir mustahil untuk tidak menemukan satu dan hanya satu panduan (di dokumen Gereja dalam hampir semua kasus, atau di kutipan dari seorang klerus) tentang apa yang harus kita perbuat sesuai dengan ajaran agama Katolik. Dengan demikian, kita tidak perlu, dan jangan sampai, mengandalkan pendapat pribadi, yaitu melakukan apa yang baik menurut kita, karena sekali lagi, jika demikian maka kita tidak ada bedanya dengan orang yang tidak menganut agama.

Misalnya,

  1. Apakah membaca ramalan bintang itu diperbolehkan?
  2. Apakah ada situasi di mana berperang itu diperbolehkan?
  3. Apakah orang yang beragama non-Katolik atau tidak menganut agama bisa masuk surga?
  4. Apakah hipnosis itu diperbolehkan?

Untuk setiap pertanyaan di atas, orang tak beragama boleh saja langsung menjawab apapun menurut pendapatnya sendiri. Tetapi seorang Katolik seharusnya tidak demikian. Semuanya sudah ditentukan secara pasti dengan dasar yang jelas oleh Gereja. Yang tersisa bagi seorang Katolik adalah kemauan untuk mencari, mempelajari, dan menunaikannya. Dua tindakan yang pertama amatlah mudah dilakukan dengan memanfaatkan teknologi di abad ke-21 ini.

Pasal 2116 dari buku Katekismus Gereja Katolik [3] berbunyi:

Segala macam ramalan harus ditolak: mempergunakan setan dan roh jahat, pemanggilan arwah atau tindakan-tindakan lain, yang tentangnya orang berpendapat tanpa alasan, seakan-akan mereka dapat “membuka tabir” masa depan. Di balik horoskop, astrologi, membaca tangan, penafsiran pratanda dan orakel (petunjuk gaib), paranormal dan menanyai medium, terselubung kehendak supaya berkuasa atas waktu, sejarah dan akhirnya atas manusia; demikian pula keinginan menarik perhatian kekuatan-kekuatan gaib. Ini bertentangan dengan penghormatan dalam rasa takwa yang penuh kasih, yang hanya kita berikan kepada Allah.

Sementara itu, pasal 2309 menerangkan dengan gamblang empat syarat yang harus dipenuhi untuk diperbolehkannya suatu bangsa membela diri secara militer. Dengan demikian, dua pertanyaan pertama sudah terjawab dengan jelas. Pertanyaan ketiga dijawab oleh buku yang sama pada pasal 847 yang dirujuk dari dokumen Lumen Gentium 16, yaitu (terjemahan bebas oleh penulis dari bahasa Inggris):

Barangsiapa yang bukan karena kesalahannya sendiri tidak mengetahui keberadaan Injil Kristus atau Gereja-Nya, namun tetap mencari Allah dengan hati yang tulus dan, dengan digerakkan oleh rahmat, berusaha melalui perbuatan-perbuatannya untuk melaksanakan kehendak-Nya yang mereka ketahui melalui perintah dari suara hati mereka, mereka juga dapat menerima keselamatan kekal.

12398lg.jpg

Buku Katekismus Gereja Katolik dalam bahasa Inggris

Pertanyaan keempat dijawab oleh Romo Edwin F. Healy, S.J. dalam bukunya yang berjudul “Medical Ethics” (Loyola University Press, 1956) [4] di mana ia menulis (terjemahan bebas oleh penulis dari bahasa Inggris):

Hipnotisme diperbolehkan asalkan tiga syarat berikut semuanya terpenuhi: (1) Ada alasan yang gawat, (2) subjek menyetujui, dan (3) bersungguh-sungguh menghindari kemungkinan terjadinya bahaya dan hal-hal tak diinginkan.

Bagian selanjutnya dari buku itu kemudian menjelaskan secara rinci arti dari setiap syarat di atas. Contoh alasan yang gawat, misalnya, keperluan untuk menyembuhkan atau mengurangi suatu kebiasaan amat buruk, misalnya mabuk-mabukan, piromania [5], masturbasi, atau kleptomania [6]. Jika dianggap bijaksana secara medis, hipnotisme juga boleh dilakukan sebagai ganti dari anestesi pada pembedahan. Jika ada cara penyembuhan lainnya yang mempunyai efektivitas yang setara tetapi tidak memiliki bahaya yang biasanya dimiliki oleh hipnotisme, maka tentu cara penyembuhan lain inilah yang harus dipilih. Syarat kedua, sang pasien harus menyetujui bahwa ia akan dihipnosis. Syarat ketiga dipenuhi pertama-tama dengan memastikan bahwa sang hipnotis (orang yang menghipnosis) memang orang yang benar-benar kompeten dalam bidang itu, dan harus disediakan seorang saksi yang dapat dipercaya. Dari pembahasan tersebut, jelas bahwa hipnosis yang digunakan untuk hiburan semata tentu tidak diperbolehkan.

Penganut agama Katolik yang sama sekali tidak menyadari bahwa dirinya terikat oleh ajaran-ajaran di atas dan sebagai gantinya selalu memberikan jawaban “Menurut saya …” bukanlah penganut yang taat. Fakta bahwa ia menganut agama Katolik menjadi tidak ada artinya.

Agama Sebagai Prinsip Hidup

Dengan demikian, agama yang dianut oleh seseorang sudah seharusnya dipegang teguh sebagai prinsip hidup dari orang tersebut. Itulah mengapa, seseorang yang mencari pasangan hidup idealnya mencari pasangan yang seagama. Pasangan yang seagama hanya memiliki satu definisi kebaikan. Dengan demikian, menurut definisi inilah kebaikan akan diajarkan kepada anak-anaknya nanti.

Pasangan yang tidak seagama harus menghadapi keberbedaan definisi kebaikan dari dua agama. Padahal, mereka membutuhkan satu definisi kebaikan yang nantinya akan diajarkan kepada anak-anaknya. Definisi kebaikan dari agama manakah yang akan dipilih? Salah satu jawaban yang menghindari konflik adalah, pilih saja semua kebaikan yang sama-sama ada di kedua agama tersebut. Permasalahannya kemudian, apakah kebaikan-kebaikan yang sama ini cukup untuk mendidik dengan tegas seiring dengan mendewasanya dan terbentuknya karakter anak tersebut. Tentu saja situasi ini lebih sulit daripada yang dihadapi oleh pasangan yang seagama.

Dalam pembentukan karakter anak, sekolah juga penting. Sebagai lembaga pendidikan, sekolah yang ideal adalah sekolah yang dasar agamanya jelas. Sekolah yang demikian mengajarkan siswanya kebaikan dengan definisi yang jelas.

Penutup

Pertama, setiap agama mendefinisikan kebaikan secara berbeda-beda. Untuk menghadapi situasi ini dibutuhkan toleransi. Jika toleransi tidak termasuk kebaikan yang terdefinisi dalam agama kita, itu perlu dipertanyakan.

Tunduknya kita terhadap ajaran agama kita memberikan arti dari menganut agama. Perkataan bahwa “Seseorang yang beragama tidak perlu taat, yang penting bisa membedakan mana yang baik dan mana yang buruk” tentu tidak logis, sebab definisi mana yang baik dan mana yang buruk itu tentu bergantung pada agama yang dianutnya. Bagaimana ia dapat membedakan mana yang baik dan mana yang buruk kalau tidak dengan cara menaati agamanya. Kalau ia mengandalkan pendapat pribadi, ia tidak ada bedanya dengan orang tak beragama. “Yang adalah Tuhan kita itu Kristus atau kamu?” itu pertanyaan sederhana yang biasa penulis lemparkan kepada penganut agama Katolik yang berkebiasaan menentukan baik dan buruk berdasarkan pendapat pribadi.

London, 21 Februari 2018

Jonathan Hoseana

Soal-Soal Ijen Mathematics and Science Competition

Pada hari Minggu, 11 Februari 2018 yang lalu, telah berlangsung Ijen Mathematics and Science Competition di SDK Aletheia, Banyuwangi. Penulis berterima kasih kepada segenap panitia yang telah mengundang penulis untuk berkontribusi sebagai penyusun naskah soal di lomba matematikanya. Walaupun kita sedang terpisah sejauh 12.400 km, penulis turut bergembira dan bersyukur karena acara tersebut telah berakhir dengan sukses. Penulis juga mengucapkan selamat kepada para pemenang.

Berikut penulis publikasikan soal-soal tersebut. Ini adalah kompetisi tingkat SD/MI yang terdiri dari babak penyisihan yang menggunakan 25 soal pilihan ganda, babak final pertama yang menggunakan 6 soal isian, dan babak final kedua yang menggunakan 4 soal uraian. Lomba ini diikuti oleh para siswa kelas 4, 5, dan 6.

1 IMSC 2018 – PENYISIHAN

2 IMSC 2018 – FINAL BAGIAN 1

3 IMSC 2018 – FINAL BAGIAN 2

Mudah-mudahan soal-soal di atas bermanfaat. Andaikata terdapat kesalahan dalam soal-soal di atas, penulis mohon maaf.

Penulis juga adalah penyusun naskah soal kompetisi matematika SanmarFest (tingkat SMP) yang diselenggarakan di SMA Santa Maria Surabaya selama beberapa tahun terakhir. Soal-soal kompetisi tersebut dapat diunduh di sini: https://jonathanhoseana.wordpress.com/2017/08/26/soal-soal-sanmarfest/. Di tautan ini juga ada informasi mengenai buku-buku kompetisi dan olimpiade matematika yang saya tulis. Tiga buku yang terakhir terbit adalah Sukses Juara Kompetisi Matematika tingkat SD, SMP dan SMA. Dua yang pertama berisi 200 soal latihan kompetisi matematika tingkat SD dan SMP (secara berturut-turut) beserta solusi lengkapnya, sedangkan yang ketiga berisi 400 soal latihan kompetisi matematika tingkat SMA beserta solusi lengkapnya. Semua soal berbentuk pilihan ganda.

London, 4 Maret 2018

Jonathan Hoseana

Tentukan Suku ke-n dari Barisan Bilangan 2, 4, 8, 16, …

Apakah jawabannya? u_n= 2^n? Ah, Anda tidak menggunakan kreativitas! Bukankah soal di atas tidak mengatakan bahwa barisan tersebut adalah barisan geometri?

Polinomial

Misalkan suku ke-n dari barisan di atas berbentuk polinomial berderajat tiga u_n=an^3 + bn^2 + cn + d, dengan a, b, c, dan d adalah parameter-parameter yang akan kita tentukan nilainya. Kemudian kesamaan-kesamaan u_1=2, u_2=4, u_3=8, dan u_4=16 akan memberikan empat persamaan saling bebas yang dapat digunakan untuk menentukan secara tunggal nilai-nilai keempat parameter tersebut, yang ternyata adalah a=\frac{1}{3}, b=-1, c=\frac{8}{3}, dan d=0. Jadi, kita dapat menjawab bahwa suku ke-n dari barisan di atas adalah u_n=\frac{1}{3}n^3 - n^2 + \frac{8}{3}n. Dengan menggunakan rumusan ini, sepuluh suku pertama dari barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, 30, 52, 84, 128, 186, dan 260.

Apakah polinomial yang kita pilih harus berderajat tiga? Tentu saja tidak. Misalkan kita memilih bentuk polinomial berderajat empat u_n=an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e. Dalam hal ini kita memiliki lima parameter yang akan kita tentukan nilainya. Oleh karena itu, kita membutuhkan lima persamaan yang saling bebas. Keempat suku yang diketahui di soal hanya memberikan empat persamaan. Bagaimana cara memperoleh satu persamaan lagi? Kita tetapkan saja suku kelimanya sesuka hati kita. Tentu saja, kalau kita tetapkan suku kelimanya sebagai 30, maka kita akan memperoleh rumusan u_n di paragraf sebelumnya. Kali ini kita tetapkan saja suku kelimanya adalah 32, maka dengan penghitungan akan diperoleh bahwa suku ke-n dari barisan di atas adalah u_n=\frac{1}{12}n^4 -\frac{1}{2}n^3+\frac{23}{12}n^2-\frac{3}{2}n+2. Dengan menggunakan rumusan ini, sepuluh suku pertama dari barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, 32, 62, 114, 198, 326, dan 512. (Wah, yang terakhir merupakan bilangan dua berpangkat!)

Dengan demikian, kita dapat memilih bentuk polinomial berderajat berapapun d\geqslant 3, yang rumusannya dapat kita tentukan secara tunggal dengan menggunakan sebanyak d+1 suku pertama dari barisan di atas. Karena soal di atas hanya memberikan informasi empat suku pertamanya, maka suku kelima dan seterusnya dapat kita tetapkan sesuka hati kita. Yang menarik, terlihat bahwa koefisien-koefisien dari polinomial-polinomial yang kita temukan sebagian besar bukan merupakan bilangan bulat, walaupun demikian suku-suku barisan tersebut merupakan bilangan bulat.

Apakah Harus Polinomial?

Dalam soal di atas juga tidak dikatakan bahwa suku ke-n dari barisan yang dimaksud merupakan polinomial dalam n. Oleh karena itu, kita dapat memilih sendiri bentuk rumusan u_n sesuka hati kita. Kalau kita ingin menentukan u_n secara tunggal dengan menggunakan keempat suku pertama yang diketahui saja tanpa perlu mengarang informasi tambahan (yaitu beberapa suku berikutnya), maka kita pilih bentuk u_n yang memuat empat parameter. Misalkan saja kita pilih bentuk u_n = an+b + c\cdot 3^n + \frac{d}{n}. Kemudian dengan menggunakan kesamaan-kesamaan u_1=2, u_2=4, u_3=8, dan u_4=16 akan diperoleh a=\frac{27}{11}, b= -\frac{65}{22}, c=\frac{7}{66}, dan d=\frac{24}{11}. Jadi, u_n=\frac{27}{11}n-\frac{65}{22}+\frac{7}{66}\cdot 3^n + \frac{24}{11n}. Dengan menggunakan rumusan ini, sepuluh suku pertama dari barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, \frac{1954}{55}, \frac{984}{11}, \frac{18980}{77}, \frac{7841}{11}, \frac{69530}{33}, dan \frac{345652}{55}. Ternyata suku-suku berikutnya bukan bilangan bulat. Tetapi tidak masalah, soal di atas tidak mengatakan bahwa barisan tersebut merupakan barisan bilangan bulat.

Mengapa Harus Susah-Susah Memilih Bentuk Berparameter yang Rumit?

Kita juga dapat menganggap bahwa barisan di atas adalah barisan yang periodik dengan periode minimal 4, misalnya. Dengan kata lain, barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, 2, 4, 8, 16, 2, 4, 8, 16, dan seterusnya. Jadi, suku ke-n barisan tersebut adalah

u_n=\begin{cases}2&\mbox{jika }n\equiv 1\mbox{ mod }4\\4&\mbox{jika }n\equiv 2\mbox{ mod }4\\8&\mbox{jika }n\equiv 3\mbox{ mod }4\\16&\mbox{jika }n\equiv 0\mbox{ mod }4\end{cases}

yaitu u_n bernilai 2 jika n bersisa 1 bila dibagi 4, bernilai 4 jika n bersisa 2 bila dibagi 4, bernilai 8 jika n bersisa 3 bila dibagi 4, dan bernilai 16 jika n bersisa 0 bila dibagi 4 (yaitu habis dibagi 4).

Apakah periode minimalnya harus 4? Tentu tidak. Misalnya, kita dapat memilih suku ke-5 sesuka hati kita, kemudian kita anggap bahwa barisan tersebut bersifat periodik dengan periode minimal 5. Misalnya, kita pilih u_5=2017, sehingga barisan tersebut adalah 2, 4, 8, 16, 2017, 2, 4, 8, 16, 2017, 2, 4, 8, 16, 2017, dan seterusnya. Rumus suku ke-n dari barisan ini dapat dituliskan dalam bentuk bercabang seperti di paragraf sebelumnya. Dalam hal ini, kita membagi kasus berdasarkan sisa pembagian n oleh 5.

Dengan seperlunya menambahkan beberapa suku berikutnya, kita dapat menganggap bahwa barisan di atas bersifat periodik dengan periode minimal k, untuk setiap bilangan asli k\geqslant  4. Periode minimal ini bisa dibuat sepanjang yang kita suka.

Tidak hanya itu. Mengapa tidak menganggap bahwa barisan tersebut bersifat prakonstan? Misalnya, barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, 16, 16, 16, 16, dan seterusnya. Dengan demikian, suku ke-n barisan tersebut adalah

u_n=\begin{cases}2&\mbox{jika }n=1\\4&\mbox{jika }n=2\\8&\mbox{jika }n=3\\16&\mbox{jika }n\geqslant 4\end{cases}

Dalam hal ini, barisan tersebut bersifat prakonstan dengan panjang transien 3. (Panjang transien adalah banyaknya suku barisan tersebut sebelum menjadi konstan.) Panjang transien ini dapat dibuat sebesar yang kita suka dengan mengarang beberapa suku awal tambahan.

Lebih umum lagi, kita juga dapat menganggap barisan tersebut sebagai barisan praperiodik. Misalnya, barisan di atas adalah 2, 4, 8, 16, 1, 16, 1, 16, 1, dan seterusnya. Dengan demikian, suku ke-n barisan tersebut adalah

u_n=\begin{cases}2&\mbox{jika }n=1\\4&\mbox{jika }n=2\\8&\mbox{jika }n=3\\16&\mbox{jika }n\geqslant 4\mbox{ dan }n\mbox{ genap}\\1&\mbox{jika }n\geqslant 4\mbox{ dan }n\mbox{ ganjil}\end{cases}

Dalam hal ini, barisan tersebut bersifat praperiodik dengan panjang transien 3 dan periode minimal 2.  Lagi-lagi, panjang transien dan periode minimal ini juga dapat dibuat sebesar yang kita suka.

Jadi…

Ada sebanyak tak terhitung (tidak hanya tak terhingga, tetapi tak terhitung!) kemungkinan rumus suku ke-n dari barisan di atas! Mengapa kita harus memilih u_n= 2^n?

Sungguh memprihatinkan bahwa soal semacam ini sudah terlalu banyak dijumpai di buku-buku matematika, bahkan di soal-soal ujian matematika, baik tingkat SMP maupun SMA. Pada umumnya, jawaban yang diharapkan oleh pembuat soal memang u_n= 2^n. Jika benar demikian, pada soal tersebut hendaknya diterangkan bahwa barisan yang dimaksud merupakan barisan geometri, yaitu barisan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan sebuah bilangan yang tetap. Keterangan tambahan yang sederhana namun esensial inilah yang akan menjamin bahwa soal tersebut hanya memiliki satu jawaban, yaitu u_n= 2^n. (Bahkan, dengan menambahkan keterangan tersebut, jawaban ini sudah dapat ditentukan secara tunggal hanya dengan menggunakan dua suku yang manapun dari barisan tersebut.)

London, 15 Desember 2017

Jonathan Hoseana

Soal-Soal SanmarFest

Sudah beberapa tahun terakhir ini penulis berkontribusi sebagai penyusun naskah soal dan anggota dari tim penilai dalam kompetisi matematika SanmarFest, yaitu suatu kompetisi matematika rutin yang diadakan oleh SMA Santa Maria Surabaya yang mempertemukan murid-murid pilihan dari SMP-SMP di Surabaya dan sekitarnya. Sebagai bagian dari SanmarFest, kompetisi ini diselenggarakan bersamaan dengan kegiatan-kegiatan lainnya seperti lomba-lomba mata pelajaran lainnya, bazar, dan pameran pendidikan. Awalnya SanmarFest dilaksanakan setahun sekali, tetapi sekarang sudah diganti menjadi dua tahun sekali.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak/Ibu guru di SMA Santa Maria Surabaya yang telah bersedia menyelenggarakan kompetisi matematika ini secara rutin, kepada para murid SMA Santa Maria yang bersedia membantu, kepada para peserta dari kompetisi matematika ini, dan juga kepada Bapak/Ibu guru pendampingnya masing-masing. Penulis juga mengucapkan selamat kepada para pemenang.

Berikut penulis publikasikan soal-soal kompetisi matematika SanmarFest yang telah terselenggara. Setiap kompetisi terdiri dari babak penyisihan yang menggunakan 30 soal pilihan ganda, babak semifinal yang menggunakan 5 soal uraian, dan babak final yang menggunakan 1 soal pemecahan masalah.

1. Soal-Soal Kompetisi Matematika SanmarFest 2014

1 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2014 – PENYISIHAN

2 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2014 – SEMIFINAL

3 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2014 – FINAL

2. Soal-Soal Kompetisi Matematika SanmarFest 2015

1 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2015 – PENYISIHAN

2 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2015 – SEMIFINAL

3 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2015 – FINAL

3. Soal-Soal Kompetisi Matematika SanmarFest 2017

1 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2017 – PENYISIHAN

2 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2017 – SEMIFINAL

3 KOMPETISI MATEMATIKA SANMARFEST 2017 – FINAL

Mudah-mudahan soal-soal di atas dapat menjadi bahan latihan untuk peserta SanmarFest (dan juga lomba-lomba matematika SMP lainnya) di tahun-tahun yang akan datang. Andaikata terdapat kesalahan dalam soal-soal di atas, penulis mohon maaf.

Apabila ingin bahan belajar lain, berikut penulis menginformasikan buku-buku matematika yang penulis buat. Semua buku berikut ini diterbitkan oleh Penerbit Grasindo. Pertama, ada buku SUJU (Sukses Juara) Olimpiade Matematika edisi pertama (terbit 30 Juli 2012).

koversuju

Sukses Juara Olimpiade Matematika edisi pertama

Tetapi buku ini kemungkinan besar sudah tidak beredar di pasaran, karena sudah direvisi menjadi buku SUJU (Sukses Juara) Olimpiade Matematika edisi revisi (terbit 23 Februari 2015).

koversujurevisi

Sukses Juara Olimpiade Matematika edisi revisi

Buku ini kemudian dicetak ulang, dan oleh penerbit Grasindo diberi kover dan judul baru, yaitu Top Sukses Olimpiade Matematika SMA/MA (terbit 18 Juli 2016). Walaupun kover dan judulnya berbeda, isi buku ini sama persis dengan isi buku Sukses Juara Olimpiade Matematika edisi revisi. Walaupun judulnya mencantumkan SMA, sebenarnya sebagian besar isi buku ini dapat diajarkan kepada anak SMP. Itulah sebabnya, judul sebelumnya dari buku ini tidak mencantumkan SMA maupun SMP, karena memang buku ini ditulis untuk olimpiade matematika secara global, tanpa membedakan SMA atau SMP.

koversujurevisireprint

Top Sukses Olimpiade Matematika SMA/MA

Semua buku di atas berisi materi yang sesuai untuk olimpiade matematika seperti Olimpiade Sains Nasional (OSN). Materi olimpiade matematika agak berbeda dengan kompetisi matematika sekolah seperti SanmarFest dan juga kompetisi-kompetisi matematika yang diadakan oleh Jurusan Matematika dari berbagai perguruan tinggi di Indonesia. Kompetisi matematika sekolah, seperti namanya, mengujikan materi-materi matematika sekolah, namun melalui soal-soal yang tingkat kesulitannya lebih tinggi daripada soal-soal matematika sekolah pada umumnya. Untuk persiapan kompetisi matematika sekolah, ada buku Sukses Juara Kompetisi Matematika SMP/MTs (terbit 20 Februari 2017) yang berisi 200 soal latihan berbentuk pilihan ganda beserta solusi lengkapnya masing-masing. Sebagian dari soal-soal SanmarFest termuat beserta solusi lengkapnya dalam buku ini.

koversujukomatsmp

Sukses Juara Kompetisi Matematika SMP/MTs

Ada juga buku serupa untuk tingkat SMA, yaitu Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA (terbit 20 Februari 2017). Buku ini berisi 400 soal latihan berbentuk pilihan ganda, yang terdiri dari 200 soal tingkat dasar dan 200 soal tingkat lanjut, beserta solusi lengkapnya masing-masing.

koversujukomatsma

Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA

Kurang lebih setahun setelah buku Sukses Juara Kompetisi Matematika terbit edisi SMP dan SMA-nya, terbit pula edisi tingkat SD dari buku yang sama, yaitu Sukses Juara Kompetisi Matematika SD/MI (terbit 19 Februari 2018) yang berisi 200 soal latihan berbentuk pilihan ganda beserta solusi lengkapnya masing-masing.

koversujukomatsd

Sukses Juara Kompetisi Matematika SD/MI

Penulis senantiasa menerima dan mengapresiasi segala masukan yang membangun, misalnya berupa informasi tentang kesalahan pengetikan atau kesalahan apapun yang terdapat dalam buku-buku di atas. Masukan-masukan tersebut akan sangat membantu, terlebih apabila buku yang bersangkutan akan direvisi di masa yang akan datang. Melalui kontribusi-kontribusi ini, penulis berharap untuk turut serta meningkatkan kualitas olimpiade-olimpiade dan kompetisi-kompetisi matematika di Indonesia.

London, 4 Maret 2018

Jonathan Hoseana

Deret Harmonik dan Menyusun Batu Bata

Permasalahan

Misalkan tersedia beberapa batu bata identik dengan panjang 1 satuan.

1

Pusat massa setiap batu bata tersebut tentu ada di bagian tengahnya (yaitu pada titik-titik hitam di atas). Permasalahan yang akan dibahas pada tulisan ini adalah dapatkah kita menyusun batu-batu bata tersebut di pinggir sebuah meja sedemikian rupa sehingga membuat salah satu batu bata sepenuhnya berada di luar meja? Jika mungkin, paling sedikit berapa batu bata yang diperlukan untuk membuat susunan ini?

2

Kita harus membuat susunan seperti pada gambar di atas sehingga ujung kiri batu bata paling atas berimpit dengan atau berada di kanan dari ujung kanan batu bata paling bawah. Dengan demikian, batu bata paling atas sepenuhnya berada di luar meja. Nanti kita akan melihat paling sedikit berapa batu bata yang diperlukan agar tujuan itu tercapai.

Menyelesaikan Permasalahan Tersebut dengan Melihat Pola

Kita akan mencoba melihat pola.

Misalkan kita mulai dengan 2 batu bata. Susunan yang dapat kita buat adalah sebagai berikut.

3

Susunan ini sudah merupakan kondisi yang paling ekstrem, artinya batu bata paling atas sudah berada di titik paling kanan yang mungkin. Kalau batu bata paling atas tersebut digeser ke kanan sedikit lagi saja maka susunan tersebut akan roboh. Dalam kondisi ekstrem ini, titik pusat massa dari batu bata atas tepat berimpit dengan ujung kanan batu bata bawah.

Berikutnya, kita akan menambahkan satu batu bata lagi dalam susunan 2 batu bata di atas. Kuncinya adalah, batu bata yang baru tidak diletakkan di atas batu paling atas, tetapi justru disisipkan di bawah batu paling bawah. Jadi sekarang kita harus mencari posisi yang tepat bagi batu bata abu-abu pada gambar berikut supaya kondisi ekstrem tercapai.

4

Misalkan x adalah jarak yang ditunjukkan pada gambar di atas, maka diperoleh sebagai berikut.

5

Jadi, titik pusat massa batu bata tengah terletak pada posisi x+\frac{1}{2} diukur dari depan, sedangkan titik pusat massa batu bata atas terletak pada posisi x+1 diukur dari depan. Dengan demikian, posisi titik pusat massa gabungan batu bata tengah dan atas adalah \frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)+(x+1)}{2}=x+\frac{3}{4}. Supaya diperoleh kondisi ekstrem, maka titik pusat massa gabungan ini harus berada tepat di ujung kanan batu bata paling bawah. Jadi, diperoleh x+\frac{3}{4}=1, yang memberikan x=\frac{1}{4}. Jadi, susunan tiga batu bata dalam kondisi ekstrem adalah sebagai berikut.

6

Dengan cara yang sama kita dapat menentukan posisi batu bata keempat pada susunan empat batu bata, yaitu sebagai berikut.

7

Posisi titik pusat massa gabungan tiga batu bata teratas adalah \frac{\left(x+\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)}{3}=x+\frac{5}{6}. Supaya diperoleh kondisi ekstrem, maka titik pusat massa gabungan ini harus berada tepat di ujung kanan batu bata paling bawah. Jadi, diperoleh x+\frac{5}{6}=1, yang memberikan x=\frac{1}{6}. Jadi, susunan empat batu bata dalam kondisi ekstrem adalah sebagai berikut.

8

Perhatikan bahwa dalam susunan empat batu bata di atas, ujung kanan batu paling bawah dengan ujung kiri batu paling atas sudah sangat dekat.

9

Untuk susunan lima batu bata, dapat diperlihatkan bahwa susunan dalam kondisi ekstremnya adalah sebagai berikut.

10

Dalam susunan ini, ternyata ujung kiri batu bata teratas sudah berada di sebelah kanan ujung kanan batu bata terbawah.

11

Dengan demikian, tujuan kita telah tercapai hanya dengan menggunakan lima batu bata.

Deret Harmonik

Perhatikan pola bilangan yang terlihat pada susunan tadi, yaitu \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8} yang merupakan pola kebalikan dari bilangan genap. Jika proses di atas dilanjutkan untuk menentukan posisi batu bata keenam, ketujuh, dan seterusnya, maka akan terbentuk barisan bilangan berikut.

\displaystyle\frac{1}{2},\,\,\frac{1}{4},\,\,\frac{1}{6},\,\,\frac{1}{8},\,\,\frac{1}{10},\,\,\frac{1}{12},\,\,\ldots

Jika tanda koma pada barisan tersebut kita ganti dengan penjumlahan, maka diperoleh deret bilangan

\displaystyle\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\ldots=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\ldots\right),

di mana deret \displaystyle\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} disebut sebagai deret harmonik.

Surabaya, 28 Agustus 2017

Jonathan Hoseana